Итоговый отчет (аннотация)
1.Предложена явнорешаемая математическая модель туннелирования через квантовую точку, основанная на теории самосопряженных расширений симметрических операторов. В модели учтено спин-орбитальное взаимодействие. Найдено выражение для коэффициента прохождения системы. Полученный результат сопоставлен со случаем, когда спин-орбитальное взаимодействие не учитывается. По результатам работы опубликована статья "Model of tunnelling through quantum dot and spin-orbit interaction" в научном журнале "Pramana - Journal of Physics".2.Получены оценки сверху на минимальное число критических точек морсовских матричных элементов из пространства матричных элементов представления в терминах старшего веса представления и геометрических характеристик группы Ли для неприводимых представлений простых компактных связных групп Ли. Показано, что данная оценка точная и достигается на группах SU(2) или SO(3) в представлениях минимальной размерности. Результаты работы доложены на международной конференции International Conference "Topological methods in dynamics and relates topics" (03-06 января 2019 года, г. Нижний Новгород, Россия).3.Построена явнорешаемая математическая модель трехслойного графена с периодическими дефектами, помещенного в однородное магнитное поле. Проведен численный анализ спектральных свойств гамильтониана модели. Проведено сравнение структуры спектра в случае наличия и отсутствия дефектов в среднем слое. Результаты работы доложены на XI Всероссийскойнаучной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (27-30 мая 2019 года, г. Самара, Россия).4.Построена математическая модель движения заряженной частицы в системе, состоящей из двух колец с двумя проводниками, соединенными двумя дуговыми перемычками, помещенными в магнитное поле. Найдены аналитические выражения для коэффициента прохождения и построены графики зависимостей коэффициента прохождения от волнового числа и потоков магнитного поля. Показана возможность управления прохождением через систему с помощью магнитного поля. Результаты работы доложены на XI Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (27-30 мая 2019 года, г. Самара, Россия).5.Рассмотрены линейные вещественные представления связных компактных групп Ли на основе анализа дифференциально-топологических свойств матричных элементов представлений. Изучена характеризация класса связных компактных групп Ли и их вещественных неприводимых представлений, у которых все морсовские матричные элементы являются минимальными функциями Морса. Показано, что только классические компактные матричные группы SO(n), U(n) и Sp(n) в их стандартных представлениях имеют такие пространства матричных элементов. Полученный результат приводит к задаче вычисления или оценок чисел Морса пространств матричных элементов остальных вещественных представлений простых связных компактных групп Ли в терминах собственных значений биинвариантного оператора Лапласа на группе и её геометрических характеристик. Подготовленная статья "Классификация упругих вещественных неприводимых линейных представлений компактных связных групп Ли" принята к печати в научном журнале "Алгебра и анализ".