Исследование

Применение математического моделирования к изучению свойств наноструктур различной геометрии


Тип исследования
Фундаментальное
Грантодающая организация
Российский Фонд Фундаментальных Исследований, Правительство Республики Мордовия
Номер проекта (по данным грантодающей организации)
18-41-130004 р_а
Срок реализации
2018 - 2020
Финансирование по годам
2018 1 000 000,00 ₽
Всего 1 000 000,00 ₽

Исполнители:


Создание нового поколения электронных устройств и материалов, основанных на использовании достижений нанотехнологий, требует от промышленности Республики Мордовия существенных затрат на экспериментальные исследования. Использование методов математического моделирования позволяет выделять и исследовать наноструктуры различной геометрии, обладающие необходимыми свойствами для дальнейшего практического применения в различных областях, не проводя дорогостоящих экспериментальных исследований. В связи с этим в рамках проекта предполагается построение и аналитическое и численное исследование спектральных и транспортных свойств новых математических моделей наноструктур различной геометрии. Для численного исследования наноструктур предполагается использовать авторский программный комплекс, использующий технологии параллельных вычислений. Также в рамках проекта предполагается изучить ряд вопросов, связанных с геометрическими свойствами собственных функций операторов Лапласа инвариантных римановых метрик на компактных однородных пространствах.


Отчет по состоянию на 1 июля 2019 года

1. Построена явнорешаемая математическая модель трехслойного графена с периодическими дефектами, помещенного в одонородное магнитное поле. Проведен численный анализ спектральных свойств гамильтониана модели. Проведено сравнение структуры спектра в случае наличия и отсутствия дефектов в среднем слое. Результаты работы доложены на XI Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (27-30 мая 2019 года, г. Самара, Россия).

2. Построена математическая модель движения заряженной частицы в системе, состоящей из двух колец с двумя проводниками, соединенными двумя дуговыми перемычками, помещенными в магнитное поле. Найдены аналитические выражения для коэффициента прохождения и построены графики зависимостей коэффициента прохождения от волнового числа и потоков магнитного поля. Показана возможность управления прохождением через систему с помощью магнитного поля. Результаты работы доложены на XI Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (27-30 мая 2019 года, г. Самара, Россия).

3. Рассмотрены линейные вещественные представления связных компактных групп Ли на основе анализа дифференциально-топологических свойств матричных элементов представлений. Изучена характеризация класса связных компактных групп Ли и их вещественных неприводимых представлений, у которых все морсовские матричные элементы являются минимальными функциями Морса. Показано, что только классические компактные матричные группы SO(n), U(n) и Sp(n) в их стандартных представлениях имеют такие пространства матричных элементов. Полученный результат приводит к задаче вычисления или оценок чисел Морса пространств матричных элементов остальных вещественных представлений простых связных компактных групп Ли в терминах собственных значений биинвариантного оператора Лапласа на группе и её геометрических характеристик. Подготовленная статья "Классификация упругих вещественных неприводимых линейных представлений компактных связных групп Ли" принята к печати в научном журнале "Алгебра и анализ".

Отчет по состоянию на 1 апреля 2019 года

1. Предложена явнорешаемая математическая модель туннелирования через квантовую точку. Построенная модель основана на теории самосопряженных расширений симметрических операторов. В модели преполагается наличие учета спин-орбитального взаимодействия. Найдено выражение для коэффициента прохождения построенной системы. Полученный результат сопоставлен со случаем, когда спин-орбитальное взаимодействие не учитывается. По результатам работы опубликована статья "Model of tunnelling through quantum dot and spin–orbit interaction" в научном журнале "Pramana – Journal of Physics".

2. Получены оценки сверху на минимальное число критических точек морсовских матричных элементов из пространства матричных элементов представления в терминах старшего веса представления и геометрических характеристик группы Ли для неприводимых представлений простых компактных связных групп Ли. Показано, что данная оценка точная и достигается на группах SU(2) или SO(3) в представлениях минимальной размерности. Результаты работы доложены на международной конференции International Conference "Topological methods in dinamics and relates topics" (03-06 января 2019 года, г. Нижний Новгород, Россия).